%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/fa2004problems_11,12,13.tex", Document, 6137, 4/5/2007, 18:11:07, ""% % "/document/graphics/diagrammayura.bmp", ImportPict, 490038, 9/21/2004, 21:21:40, ""% % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%% Start /document/fa2004problems_11,12,13.tex %%%%%%%%%%%%% %\input{tcilatex} \documentclass{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \setcounter{MaxMatrixCols}{10} %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2606} %TCIDATA{} %TCIDATA{BibliographyScheme=Manual} %TCIDATA{Created=Thursday, July 22, 2004 13:38:11} %TCIDATA{LastRevised=Thursday, April 05, 2007 13:11:06} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{CSTFile=Math.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %F=36,\PARA{038
\hfill \thepage} %} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \section*{Problems and Comments for Section 11, 12, 13} \vspace{1pt}$\sim $ \textbf{Problems: }12.1, 12.2, 12.3, 12.4 (a)-(c), 12.29, 12.30;\textbf{\ }% 13.1, 13.5, 13.7, 13.8;11.3, 11.4, 11.5, 11.6, 11.14, 11.15, 11.16, 11.26 (optional) \vspace{1pt} \textbf{Comments: }These three sections should be read simultaneously. It's best to start with section 12 on Homomorphisms. You may skip everything after example 4 on page 121. A homomorphism is a map between similar algebras that preserves all the operations. Say, if $f=f^{\mathbf{A}}$ is some binary operation on the algebra $\mathbf{A}$ and $\varphi :\mathbf{A\rightarrow B}$ a map from $% \mathbf{A}$ to a similar algebra $\mathbf{B}$, where $f$ is the operation $% f^{\mathbf{B}}$, then $\varphi $ is called a \textit{homomorphism }if \begin{equation*} \varphi (f^{\mathbf{A}}(a_{1},a_{2})=f^{\mathbf{B}}(\varphi (a_{1}),\varphi (a_{1})) \end{equation*} We may drop the superscripts and talk about the operation $f$ on $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$, respectively. A homomorphism between groups preserves the binary operation $\ast $, the unary operation $^{-1}$ and the constant $e.$ Thus for a group homomorphism we stipulate the conditions% \begin{eqnarray*} \varphi (a_{1}\ast a_{2}) &=&\varphi (a_{1})\ast \varphi (a_{2}) \\ \varphi (a^{-1}) &=&\varphi (a)^{-1} \\ \varphi (e) &=&e \end{eqnarray*} As it is shown in the text (Theorem 12.4), a map between groups is already a homomorphism if the multiplication $\ast $ is preserved. \newline Recall that for any map $f\ $between sets $A$ and $B$ the equivalence relation $\ker (f)$ is defined on $A$ by: \begin{equation*} a_{1}\sim a_{2}\ \text{iff }f(a_{1})=f(a_{2}) \end{equation*} The set of equivalence classes is called the quotient set $C=A/\ker (f)$ and $q_{f}:A\rightarrow C,a\mapsto \lbrack a]$ is called the \textit{quotient map% }. Of course, $q_{f}$ is surjective. Given any element $c\in C$, it is of the form $c=[a]$ for some $a\in A.$ But then $q_{f}=[a].$ Because $f$ is constant on every class, we can define a map \begin{equation*} \overset{\mathbf{\cdot }}{f}\ :C\rightarrow B,[a]\mapsto f(a) \end{equation*} If we take any element of $C$, then it is of the form $[a]$ for some $a\in A. $If $a^{\prime }$ is any other element in $[a]$ then by definition of the equivalence class of $[a]$ we have $f(a)=f(a^{\prime }).$Thus$,\overset{% \mathbf{\cdot }}{f}$ is a \textit{well defined} map. We have that $\overset{\mathbf{\cdot }}{f}$ is always injective, and bijective if and only if $f~$ is surjective. We have that: \begin{equation*} \overset{\mathbf{\cdot }}{f}\ \circ q_{f}=f \end{equation*} and this can be expressed by a \textit{commutative diagram:} \FRAME{dtbpF}{3.4532in}{2.1655in}{0pt}{}{}{diagrammayura.bmp}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.4532in;height 2.1655in;depth 0pt;original-width 3.4065in;original-height 2.1266in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'graphics/diagrammayura.bmp';file-properties "XNPEU";}} It also says: Any map whatsoever is the composition of a surjective map, followed by an injective map. For a homomorphism $f=\varphi $ and groups $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ one defines $\ker (\varphi )=[e]=\{a|\varphi (a)=e\}=N_{\varphi }$ where $% N_{\varphi }$ is a \textit{normal }subgroup\textit{\ }of $\mathbf{A}$ and the equivalence classes turn out to be co-sets: \begin{equation*} \lbrack a]=aN=Na \end{equation*} These cosets can be made to a group $\mathbf{C}$ by defining: \begin{eqnarray*} \lbrack a]\ast \lbrack b] &=&[a\ast b] \\ \lbrack a]^{-1} &=&[a^{-1}] \\ e &=&[e]=N \end{eqnarray*} and with these definitions $\mathbf{C=A/}N$ is a group and $q_{\varphi }$ is (trivially) a homomorphism, and $\overset{\mathbf{\cdot }}{\varphi }$ is a homomorphism. In particular, if $\varphi $ is surjective then $\overset{% \mathbf{\cdot }}{\varphi }$ is an isomorphism. This is the \textbf{% Fundamental Theorem on group homomorphisms (Theorem 13.2).} \end{document} %%%%%%%%%%%%%% End /document/fa2004problems_11,12,13.tex %%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% Start /document/graphics/diagrammayura.bmp %%%%%%%%%%%%% BudMz]@@@@@@@XC@@@@J@@@@G@@@|S@@@P@@`A@@@@@@@`^G@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@ @@ @@@@ {uw^}z[o }z[o{uw^ @@@@ ypSN@@@@ @@@@ypSN @@@@ }z[o@@@@}z[o}z[o@@@@}z[o @@@@ ypSN@@@@ @@@@ypSN @@@@ }z[o@@@@{uw^ {uw^@@@@}z[o @@@@ }z[o{uw^@@@@@@@@@@@@@@@@ypSN}z[o }z[o{uw^}z[o {uw^{uw^}z[o{uw^}z[o {uw^{uw^{uw^{uw^}z[o}z[o {uw^{uw^{uw^}z[o{uw^{uw^ypS N@@@@}z[o{uw^}z[o@@@@ypSN @@@@ ypSN@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ypSN }z[o@@@@@@@@{uw^@@@@ypSN}z [o@@@@@@@@@@@@@@@@{uw^@@@@ypSN }z[oypSN@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ypSN}z[o@@@@@@@@ @@@@ypSN{uw^@@@@{uw^ ypSN@@@@ @@@@ ypSN@@@@@@@@{uw^{uw^@@@@@@@@ypSN ypSN@@@@}z[o ypSN@@@@}z[o@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@}z[o}z[o@@@@@@@@@@@@{uw^{uw^{uw^@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@{uw^@@@@{uw^{uw^ 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